Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Racines et factorisation.
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition d’une racine $\alpha$ d’un polynôme $P$ : $P(\alpha)=0$. | |
Un nombre réel ou complexe $\alpha$ est racine d’un polynôme $P$ si, et seulement si, il existe un polynôme $Q$ tel que $P=(X-\alpha)Q$. | La division euclidienne des polynômes est hors programme. |
Généralisation à plusieurs racines distinctes. Le nombre de racines distinctes d’un polynôme non nul est majoré par son degré. | |
Ordre de multiplicité d’une racine. | La caractérisation de la multiplicité d’une racine à l’aide des polynômes dérivés n’est pas un attendu du programme. |
Cas des polynômes réels : si $\alpha$ est racine, $\overline{\alpha}$ est aussi racine. | |
Théorème de d’Alembert-Gauss. Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$. | Ce théorème est admis. La factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ est hors programme. |
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7340
Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...