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Programme de mathématiques BCPST, seconde année

b) Indépendance

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8 exercices

Texte officiel du programme

Contenus	Capacités et commentaires
Deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes si, et seulement si, $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tout $(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)$. Généralisation : indépendance (mutuelle) de $n$ variables aléatoires ; d’une suite de variables aléatoires. Propriétés de l’indépendance mutuelle : • Si $X_1,X_2,\dots,X_n$ sont indépendantes, toute sous-famille l’est aussi.
• Lemme des coalitions : si $X_1,\dots,X_n,X_{n+1},\dots,X_{n+p}$ sont indépendantes, alors $u(X_1,\dots,X_n)$ et $v(X_{n+1},\dots,X_{n+p})$ sont indépendantes.	On observera que cette propriété peut s’étendre à un nombre fini de fonctions s’appliquant à une partition des variables, et en particulier au cas de $(u_1(X_1),u_2(X_2),\dots,u_n(X_n))$.

Contenus

Capacités et commentaires

Deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes si, et seulement si, $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tout $(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)$.
Généralisation : indépendance (mutuelle) de $n$ variables aléatoires ; d’une suite de variables aléatoires.
Propriétés de l’indépendance mutuelle :
• Si $X_1,X_2,\dots,X_n$ sont indépendantes, toute sous-famille l’est aussi.

• Lemme des coalitions : si $X_1,\dots,X_n,X_{n+1},\dots,X_{n+p}$ sont indépendantes, alors $u(X_1,\dots,X_n)$ et $v(X_{n+1},\dots,X_{n+p})$ sont indépendantes.

On observera que cette propriété peut s’étendre à un nombre fini de fonctions s’appliquant à une partition des variables, et en particulier au cas de $(u_1(X_1),u_2(X_2),\dots,u_n(X_n))$.

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