Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
e) Familles sommables de nombres réels positifs
Rechercher dans cette partie du programme5 exercices
Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convention de calcul et relation d’ordre dans $[0, +\infty]$. Borne supérieure dans $[0, +\infty]$. | |
Somme d’une famille $(u_i)_{i\in I}$ d’éléments de $[0, +\infty]$, définie comme borne supérieure dans $[0, +\infty]$ de l’ensemble des sommes $\displaystyle\sum_{i\in F} u_i$ quand $F$ décrit l’ensemble des parties finies de $I$. | La somme est notée $\displaystyle\sum_{i\in I} u_i$. Cas où $I$ est fini, où $I = \mathbb{N}$ (lien avec les séries). On note $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} u_n = +\infty$ si la série $\sum u_n$ d’éléments de $\mathbb{R}^+$ diverge. Invariance de la somme par permutation. |
La famille $(u_i)_{i\in I}$ d’éléments de $\mathbb{R}^+$ est dite sommable si $\displaystyle\sum_{i\in I} u_i < +\infty$. | On souligne que les calculs sont justifiés par la seule positivité et qu’ils fournissent un moyen d’étudier la sommabilité. |
Opérations : somme, multiplication par un réel positif. | |
Théorème de sommation par paquets : si $I$ est réunion disjointe des $I_j$ pour $j \in J$ et si $(u_i)_{i\in I}$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^+$, alors $\displaystyle\sum_{j\in J}\Big(\sum_{i\in I_j} u_i\Big) = \sum_{i\in I} u_i$. Cas où $I$ est un produit : théorème de Fubini positif. | La démonstration est hors programme. |
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4491
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).
exo7 4493
On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...
exo7 4498
Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...
exo7 4501
Soit \((a_i)_{i\in I}\) une famille sommable et \((I_n)_{n\in\N}\) une suite croi ...