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On pose $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\sqrt n}$ .

Montrer que $f$ est bien définie sur $\R$ , $2\pi$ -périodique et continue sur $\R\setminus2\pi\Z$ .

Calculer $\lim_{a\to0^+} \int_{t=a}^{\pi-a}f(t)\sin(pt)\,d t$ et en déduire que $f$ n’a pas de développement en série de Fourier (et donc n’est pas continue en $0$ ).