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Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique telle que : $\forall\ x \in {[-\pi,\pi[},\ f(x) = e^x$ .

Chercher le développement en série de Fourier de $f$ .

En déduire les sommes des séries : $S = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2+1}$ et $S' = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1}$ .