Soit \(a\in {]-1,1[}\) et \(g\) : \(x \mapsto\frac{1-a\cos x}{ 1-2a\cos x +a^2}\).
1
Prouver : \(\forall\ x\in\R,\ g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos nx\).
2
Quel est le mode de convergence de la série ?
3
Soit \(f : \R \to \C\) continue par morceaux et \(2\pi\)-périodique. Montrer que \(h\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{2\pi}g(x-t)f(t)\,d t\) est somme d’une série trigonométrique uniformément convergente. Que peut-on déduire pour \(h\) ?height 12pt width 0pt
4
Soit \(\lambda\in\R\). Trouver toutes les fonctions \(f : \R \to \C\) continues par morceaux et \(2\pi\)-périodiques telles que : \(\forall\ x\in\R,\ f(x)=\lambda \int_{t=0}^{2\pi}g(x-t)f(t)\,d t +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}\).