Soit \(f : \R \to \C\) \(2\pi\)-périodique continue, \(f_n\) sa \(n\)-ème somme de Fourier et \(g_n = \frac{f_0 + \dots + f_n}{n+1}\).
1
Exprimer \(g_n\) à l’aide d’un produit de convolution, \(g_n = f*k_n\).
2
Montrer que la suite \((k_n)\) constitue une suite d’approximations de la mesure de Dirac sur \(]-\pi,\pi[\). Ceci montre que la moyenne des sommes partielles de la série de Fourier de \(f\) converge uniformément vers \(f\) pour toute \(f\) continue.