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Soit $f : \R \to \C$ $2\pi$ -périodique continue, $f_n$ sa $n$ -ème somme de Fourier et $g_n = \frac{f_0 + \dots + f_n}{n+1}$ .

Exprimer $g_n$ à l’aide d’un produit de convolution, $g_n = f*k_n$ .

Montrer que la suite $(k_n)$ constitue une suite d’approximations de la mesure de Dirac sur $]-\pi,\pi[$ . Ceci montre que la moyenne des sommes partielles de la série de Fourier de $f$ converge uniformément vers $f$ pour toute $f$ continue.