Intégration à $x'-x$ constant : $a_k = \int_{y=-1}^1 e^{-|y|^\beta}(1-|y|)e^{-2ik\pi y}\,d y$ est le $2k$ -ème coefficient de Fourier de la fonction $f$ , $2$ -périodique, telle que ${f(y) = e^{-|y|^\beta}(1-|y|)}$ si $-1\le y\le 1$ donc le $k$ -ème coefficient de Fourier de $g$ , $1$ -périodique, telle que ${g(y) = \frac12(f(y) + f(y+1))}$ . Soit $g_n$ la $n$ -ème somme partielle de la série de Fourier de $g$ , $g_n(y) = \sum_{|k|\le n}a_ke^{2ik\pi y}$ .

On a par convergence normale de la série de Fourier de $g$ : $\sum_{|k|>n\text{ ou }|\ell|>n} a_ka_\ell = g^2(0) - g_n^2(0)$ .

$\begin{align*} g(0)-g_n(0) &= \int_{y=-{\frac 1 2}}^{\frac 1 2} \frac{g(0)-g(y)}{\sin\pi y}\sin((2n+1)\pi y)\,d y\cr &= 2 \int_{y=0}^{\frac 1 2} \frac{g(0)-g(y)}{\sin\pi y}\sin((2n+1)\pi y)\,d y\cr &= 2\Bigl[-\frac{g(0)-g(y)}{\sin\pi y}\frac{\cos((2n+1)\pi y)}{(2n+1)\pi}\Bigr]_{y=0}^{\frac 1 2} +2 \int_{y=0}^{\frac 1 2} \frac{d}{d y}\Bigl(\frac{g(0)-g(y)}{\sin\pi y}\Bigr)\frac{\cos((2n+1)\pi y)}{(2n+1)\pi}\,d y\cr &=\frac{1-e^{-1}}{(2n+1)\pi^2} + \int_{y=0}^{\frac 1 2}\mathrm{fct continue}(y)\frac{\cos((2n+1)\pi y)}{(2n+1)\pi}\,d y\cr &\sim\frac{1-e^{-1}}{(2n+1)\pi^2}.\cr \end{align*}$ $g(0)+g_n(0) \to 2g(0) = 1$ (lorsque $n\to\infty$ ) d’où $\sum_{|k|>n\text{ ou }|\ell|>n} a_ka_\ell\sim\frac{1-e^{-1}}{(2n+1)\pi^2}$ .

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