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Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe \(a>1\) tel que \(f(x) = O(1/|x|^a)\) et \(f'(x) = O(1/|x|^a)\) lorsque \(|x|\to\infty\), et on pose \(F(x) = \sum_{n\in \Z}f(x+2n\pi)\).
Montrer que \(F\) est bien définie, \(\mathcal{C}^1\) et \(2\pi\)-périodique. En déduire la formule sommatoire de Poisson : \[\sum_{n\in\Z}f(2n\pi) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n\in\Z} \hat f(n).\]