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Soit $f : \R \to \C$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu’il existe $a>1$ tel que $f(x) = O(1/|x|^a)$ et $f'(x) = O(1/|x|^a)$ lorsque $|x|\to\infty$, et on pose $F(x) = \sum_{n\in \Z}f(x+2n\pi)$.

Montrer que $F$ est bien définie, $\mathcal{C}^1$ et $2\pi$-périodique. En déduire la formule sommatoire de Poisson : $$\sum_{n\in\Z}f(2n\pi) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n\in\Z} \hat f(n).$$