L2 Analyse Série de Fourier 3 questions

exo7 1954

Soit f:R→Cf : \Rr \rightarrow \Cc une fonction 2π2\pi-périodique, C1C^1 et telle que ∫02πf(t)dt=0.\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0}. On note respectivement (cn)n∈Z(c_n)_{n\in \Zz} et (cn′)n∈Z(c'_n)_{n\in \Zz} les coefficients de Fourier (complexes) de ff et f′f'.

1

Calculer c0c_0 puis donner une relation entre cnc_n et cn′c'_n.

2

En déduire que que ∫02π∣f(t)∣2dt≤∫02π∣f′(t)∣2dt.\displaystyle{ \int _0^{2\pi}\vert f(t)\vert ^2dt\leq \int _0^{2\pi}\vert f'(t)\vert ^2dt}.

3

Dans quel cas l’égalité a-t-elle lieu ?

Exercice U3Ks

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