Soit \(f : \Rr \rightarrow \Cc\) une fonction \(2\pi\)-périodique, \(C^1\) et telle que \(\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0}.\) On note respectivement \((c_n)_{n\in \Zz}\) et \((c'_n)_{n\in \Zz}\) les coefficients de Fourier (complexes) de \(f\) et \(f'\).
1
Calculer \(c_0\) puis donner une relation entre \(c_n\) et \(c'_n\).
2
En déduire que que \(\displaystyle{ \int _0^{2\pi}\vert f(t)\vert ^2dt\leq \int _0^{2\pi}\vert f'(t)\vert ^2dt}.\)
3
Dans quel cas l’égalité a-t-elle lieu ?