Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions \[1,\quad \cos(x),\quad \sin(x),\quad \cos(2x),\quad \sin(2x),\quad \ldots ?\] On considère la fonction \(f\), \(2\pi\)-périodique, définie sur \([-\pi,\pi]\) par \(f(x)=x\). On cherche à l’approcher par une fonction de la forme \(S_1(x)=a\cos(x)+b\sin(x)\).
Représenter graphiquement \(f\) sur \([-\pi,\pi]\), déterminer sa parité, et en déduire lequel de \(\cos(x)\) ou \(\sin(x)\) est adapté pour l’approcher. Que conjecture-t-on sur le coefficient \(a\) ?
On choisit donc une approximation de la forme \(S_1(x)=b\sin(x)\). On souhaite choisir \(b\) de sorte que l’erreur quadratique intégrale \[E(b) = \int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-b\sin(x)\bigr)^2\,dx\] soit minimale.
Montrer que minimiser \(E(b)\) revient à imposer la condition d’orthogonalité suivante : \[\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-b\sin(x)\right)\sin(x)\,dx = 0.\]
Calculer \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(x)\,dx\), puis \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(x)\,dx\) par intégration par parties. En déduire la valeur de \(b\) telle que \(E(b)\) est minimale puis l’expression de \(S_1\).
On cherche maintenant une approximation plus précise de \(f\), sous la forme \[S_2(x)=b_1\sin(x)+b_2\sin(2x).\] On impose que l’erreur \(f(x)-S_2(x)\) soit orthogonale à \(\sin(x)\) et à \(\sin(2x)\).
Écrire les deux conditions intégrales correspondantes.
Montrer que \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\sin(2x)\,dx=0\), puis en déduire que les deux coefficients \(b_1\) et \(b_2\) peuvent être déterminés séparément par \[b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.\]
Calculer \(b_2\) par intégration par parties. On admet que, pour tout entier \(n\geqslant 1\), \[\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}.\] En déduire une expression générale de \(b_n\).
On obtient ainsi formellement, pour \(x\in{]-\pi,\pi[}\) : \[x = 2\sin(x)-\sin(2x)+\frac{2}{3}\sin(3x)-\frac{1}{2}\sin(4x)+\cdots\] Note sur la convergence. Cette égalité repose sur le théorème de Dirichlet, admis ici. On ne peut pas l’établir à l’aide des seuls critères des séries numériques, car les termes \(\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\) oscillent simultanément en \(n\) et en \(x\).
Comparer cette écriture avec les développements en série entière déjà rencontrés : quel est le point commun ? Quelle différence importante apparaît ici ?
En évaluant formellement l’égalité précédente en \(x=\dfrac{\pi}{2}\), montrer que l’on retrouve la série numérique \[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}.\]