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Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions $1,\quad \cos(x),\quad \sin(x),\quad \cos(2x),\quad \sin(2x),\quad \ldots ?$ On considère la fonction $f$ , $2\pi$ -périodique, définie sur $[-\pi,\pi]$ par $f(x)=x$ . On cherche à l’approcher par une fonction de la forme $S_1(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$ .

Représenter graphiquement $f$ sur $[-\pi,\pi]$ , déterminer sa parité, et en déduire lequel de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ est adapté pour l’approcher. Que conjecture-t-on sur le coefficient $a$ ?

On choisit donc une approximation de la forme $S_1(x)=b\sin(x)$ . On souhaite choisir $b$ de sorte que l’erreur quadratique intégrale $E(b) = \int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-b\sin(x)\bigr)^2\,dx$ soit minimale.

Montrer que minimiser $E(b)$ revient à imposer la condition d’orthogonalité suivante : $\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(x)-b\sin(x)\right)\sin(x)\,dx = 0.$

Calculer $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(x)\,dx$ , puis $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(x)\,dx$ par intégration par parties. En déduire la valeur de $b$ telle que $E(b)$ est minimale puis l’expression de $S_1$ .

On cherche maintenant une approximation plus précise de $f$ , sous la forme $S_2(x)=b_1\sin(x)+b_2\sin(2x).$ On impose que l’erreur $f(x)-S_2(x)$ soit orthogonale à $\sin(x)$ et à $\sin(2x)$ .

Écrire les deux conditions intégrales correspondantes.

Montrer que $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\sin(2x)\,dx=0$ , puis en déduire que les deux coefficients $b_1$ et $b_2$ peuvent être déterminés séparément par $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.$

Calculer $b_2$ par intégration par parties. On admet que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , $\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}.$ En déduire une expression générale de $b_n$ .

On obtient ainsi formellement, pour $x\in{]-\pi,\pi[}$ : $x = 2\sin(x)-\sin(2x)+\frac{2}{3}\sin(3x)-\frac{1}{2}\sin(4x)+\cdots$ Note sur la convergence. Cette égalité repose sur le théorème de Dirichlet, admis ici. On ne peut pas l’établir à l’aide des seuls critères des séries numériques, car les termes $\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ oscillent simultanément en $n$ et en $x$ .

Comparer cette écriture avec les développements en série entière déjà rencontrés : quel est le point commun ? Quelle différence importante apparaît ici ?

En évaluant formellement l’égalité précédente en $x=\dfrac{\pi}{2}$ , montrer que l’on retrouve la série numérique $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}.$

Introduction aux séries de Fourier

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