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(un développement en série de fonctions de $\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ et $\mathrm{cotan}(\pi z)$ ).

Soit $\alpha\in\Cc\setminus\Zz$ . Soit $f$ l’application de $\Rr$ dans $\Cc$ , $2\pi$ -périodique telles que $\forall x\in[-\pi,\pi]$ , $f(x)=\cos(\alpha x)$ .

Développer la fonction $f$ en série de Fourier.

En déduire que pour tout $z\in\Cc\setminus\Zz$ ,

$\frac{\pi}{\sin(\pi z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2}$ et $\pi\mathrm{cotan}(\pi z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$ .

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