(un développement en série de fonctions de \(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\) et \(\mathrm{cotan}(\pi z)\)).
Soit \(\alpha\in\Cc\setminus\Zz\). Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Cc\), \(2\pi\)-périodique telles que \(\forall x\in[-\pi,\pi]\), \(f(x)=\cos(\alpha x)\).
1
Développer la fonction \(f\) en série de Fourier.
2
En déduire que pour tout \(z\in\Cc\setminus\Zz\),
\(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2}\) et \(\pi\mathrm{cotan}(\pi z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}\).