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Soient $f,g$ deux applications $2\pi$-périodiques réelles de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que : $2 \int_0^{2\pi}fg' \le \int_0^{2\pi}f'^2 + \int_0^{2\pi}g'^2$.

Soit $\Gamma$ un arc $\mathcal{C}^1$, fermé, simple, de longueur $2\pi$. Montrer que l’aire du domaine limité par $\Gamma$ est inférieure ou égale à $\pi$.