On décompose \(f\) en série de Fourier : \(f(x) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{n^2\pi^2}\sin(n\pi x)\) avec \(c_n = 2 \int_{u=0}^1 f''(u)\sin(n\pi u)\,d u\). En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient : \(\|f\|_\infty^2\le\Bigl(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4\pi^4}\Bigr)\Bigr(\sum_{n=1}^\infty c_n^2\Bigr) = \frac{2\zeta(4)}{\pi^4}\|f''\|_2^2 = \frac{\|f''\|_2^2}{45}\).

Autre démonstration sans utiliser les séries de Fourier : pour \(x\in{[0,1]}\) on a \[\begin{align*} f(x) &{}= \int_{t=0}^x f'(t)\,d t = xf'(x) - \int_{t=0}^xtf'(t)\,d t\cr f(x) &{}= \int_{t=1}^x f'(t)\,d t = (x-1)f'(x) - \int_{t=1}^x(t-1)f'(t)\,d t\cr f(x) &= (1-x)f(x) + xf(x) = \int_{t=0}^x t(x-1)f''(t)\,d t + \int_{t=x}^1 x(t-1)f''(t)\,d t\cr &= \int_{t=0}^1\varphi(x,t)f''(t)\,d t.\text{ avec } \varphi(x,t) = xt - \min(x,t).\cr\end{align*}\] On en déduit \(|f(x)|^2\le \|f''\|_2^2 \int_{t=0}^1\varphi(x,t)^2\,d t = \frac{x^2(x-1)^2}3\|f''\|_2^2\le \frac{\|f''\|_2^2}{48}\).

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