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Soit $f : {[0,2\pi]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ . On considère la fonction $g$ , $2\pi$ -périodique coïncidant avec $f$ sur $[0,2\pi[$ . Soient $a_n,b_n$ les coefficients de Fourier de $g$ .

Montrer que $a_n = o\left(\frac1n\right)$ et $b_n = \frac{f(0)-f(2\pi)}{\pi n} + o\left(\frac1n\right)$ .

Donner le développement en série de Fourier de $g'$ .