Soit \(f : \R \to \C\) paire, \(2\pi\)-périodique, telle que, pour tout \(x\in [0,\pi]\), \(f(x)=\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{p^2}\sin \Bigl((2^{p^3}+1)\frac{x}{2}\Bigr)\). Vérifier que \(f\) est définie et continue sur \(\R\).
Soit \(A_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} f(t)\,d t\), pour \(n\in \N^*\), \(A_n=\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \cos (nt)\,d t\).
Pour \(\nu \in \N\), on pose \(a_{0,\nu}=\frac12 \int_0^{\pi} \sin \Bigl((2\nu +1)\frac{t}{2}\Bigr)\,d t\) et \(a_{n,\nu}= \int_0^{\pi} \cos (nt)\sin \Bigl((2\nu +1)\frac{t}{2}\Bigr)\,d t\).
Pour \(q\in \N\), on note \(s_{q,\nu}=\sum_{i=0}^q a_{i,\nu}\). Montrer que si \(\nu\) est fixé, \(s_{n,\nu}\to0\) lorsque \(n\to\infty\). Calculer explicitement les \(a_{n,\nu}\). En déduire que, pour tout \(q\), pour tout \(\nu\), \(s_{q,\nu}>0\), et prouver que \(\mathop{\max}\limits_{q\in \N} (s_{q,\nu})=s_{\nu,\nu}\).
Montrer qu’il existe \(B>0\) tel que, pour tout \(\nu \ge 1\), \(s_{\nu,\nu}\ge B \ln \nu\).
Montrer que, pour tout \(n\in \N\), \(A_n=\frac{2}{\pi}\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^2}a_{n,2^{p^3-1}}\).
Pour \(n\in \N ^*\), on pose \(T_n=\frac{\pi}{2} \sum_{k=0}^{n} A_k\). Vérifier que \(T_n=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^2} s_{n,2^{p^3-1}}\). Montrer qu’il existe \(D>0\) tel que, pour tout \(p\ge 1\), \(T_{2^{p^3-1}}\ge Dp\), et constater que la série de Fourier de \(f\) diverge au point \(0\).