Soit \(f: \Rr \rightarrow \Rr\) l’application \(x\mapsto \displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{\cos tx}{1+t^2}dt}.\)
1
Montrer que \(\forall x\in \Rr : xf(x)=2\displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{t\sin tx}{(1+t^2)^2}dt}.\)
2
Montrer que \(f\) est de classe \(C^2\) puis, en dérivant l’expression ci-dessus, que \(\forall x\in \Rr _+^* : f''(x)=f(x).\)
3
Donner une expression de \(f\) sur \(\Rr _+^*\) puis sur \(\Rr\).