L2 Analyse Série de Fourier Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1955

Soit f:R→Rf: \Rr \rightarrow \Rr l’application x↦∫0+∞cos⁡tx1+t2dt.x\mapsto \displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{\cos tx}{1+t^2}dt}.

1

Montrer que ∀x∈R:xf(x)=2∫0+∞tsin⁡tx(1+t2)2dt.\forall x\in \Rr : xf(x)=2\displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{t\sin tx}{(1+t^2)^2}dt}.

2

Montrer que ff est de classe C2C^2 puis, en dérivant l’expression ci-dessus, que ∀x∈R+∗:f′′(x)=f(x).\forall x\in \Rr _+^* : f''(x)=f(x).

3

Donner une expression de ff sur R+∗\Rr _+^* puis sur R\Rr.

Exercice tkmf

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