On a $c_0(g) = c_1(g) = c_{-1}(g) = 0$ , donc $g$ est orthogonale à tout polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à $1$ . Si $g$ est de signe constant sur $]0,2\pi[$ , on contredit $c_0(g) = 0$ . Donc $g$ a au moins une racine $a\in{]0,2\pi[}$ . Si $g$ n’a pas d’autre racine dans $]0,2\pi[$ alors $g$ est de signes constants opposés sur $]0,a[$ et $]a,2\pi[$ . Mais alors $g(t)(\cos(t-a/2)-\cos(a/2))$ est de signe constant sur la réunion de ces intervalles, c’est absurde. Donc $g$ a une deuxième racine dans $]0,2\pi[$ , par exemple $b\in{]a,2\pi[}$ . Si $g$ n’a pas d’autre racine sur $]0,2\pi[$ alors $g$ est de signes constants sur $]0,a[$ , $]a,b[$ et $]b,2\pi[$ et les signes alternent. On obtient une nouvelle contradiction car alors $g(t)(\cos(t-(a+b)/2)-\cos((b-a)/2))$ est de signe constant sur la réunion de ces intervalles. Ainsi $g$ admet une troisième racine, par exemple $c\in{]b,2\pi[}$ . Enfin, si l’on suppose que $g$ n’a pas d’autre racine sur $]0,2\pi[$ alors on a $g(t) > 0$ sur $]0,a[$ et $]b,c[$ et $g(t) < 0$ sur $]a,b[$ et $]c,2\pi[$ ou l’inverse. Dans les deux cas, on en déduit que $g(0) = g(2\pi) = 0$ .

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