L2 Analyse Série de Fourier 3 questions

exo7 1952

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique sur R\Rr telle que f(x)=x2f(x)=x^2 si ∣x∣≤π.\vert x \vert \leq \pi .

1

Déterminer la série de Fourier de ff.

2

Calculer ∫−ππx4dx.\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi x^4dx}. En déduire la valeur de ∑p=1∞1n4.\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}.

3

Montrer que x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2.x^2= \displaystyle{\frac{\pi ^2}{3} +4 \sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos nx }{n^2}}. En déduire ∑p=1∞1n2.\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}.

Exercice S9iB

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