Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique sur \(\Rr\) telle que \(f(x)=x^2\) si \(\vert x \vert \leq \pi .\)
1
Déterminer la série de Fourier de \(f\).
2
Calculer \(\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi x^4dx}.\) En déduire la valeur de \(\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}.\)
3
Montrer que \(x^2= \displaystyle{\frac{\pi ^2}{3} +4 \sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos nx }{n^2}}.\) En déduire \(\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}.\)