1
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) 1-périodique, \(\alpha \in \R\setminus \Q\) et \(x \in \R\).
Montrer que \(\frac{f(x) + f(x+\alpha) + \dots + f(x+n\alpha)}{n+1} \to \int_{t=0}^1 f(t)\,d t\) lorsque \(n\to\infty\).
2
Montrer que le résultat est encore vrai en supposant seulement \(f\) continue.
3
En déduire la nature de la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}n\).