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Donner le développement en série de Fourier de la fonction $2\pi$-périodique définie sur $]0,2\pi[$ par $f(x) = e^{ax}$ avec $a\ne 0$.

Calculer $\sum_{n\ge1}\frac{a}{a^2+n^2}$. En déduire $\sum_{n\ge 1}\frac1{n^2}$.

Que vaut $\lim_{a\to+\infty}\,\sum_{n\ge1}\frac{a}{a^2+n^2}$ ?