Objectif : Comprendre comment décomposer une fonction périodique en une somme de fonctions sinusoïdales plus simples, et comment calculer les "poids" de chaque composante.
Partie 1 : L’idée de base et les coefficients réels
Imaginons une fonction \(f(x)\) qui est périodique, de période \(T=2\pi\). On suppose qu’on peut l’écrire comme une somme (potentiellement infinie) de cosinus et de sinus : \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)\] Les nombres \(a_0, a_n, b_n\) sont appelés les coefficients de Fourier réels de \(f\). Notre but est de trouver comment les calculer si on connaît \(f(x)\).
Intégrer \(f(x)\) entre \(-\pi\) et \(\pi\) et en déduire une formule pour calculer terme constant \(\frac{a_0}{2}\).
Orthogonalité des fonctions trigonométriques : Pour isoler \(a_k\) (où \(k \ge 1\) est un entier fixé), l’idée est de multiplier \(f(x)\) par \(\cos(kx)\) puis d’intégrer. Pour que cela fonctionne, nous avons besoin de connaître les valeurs des intégrales suivantes (où \(n, k \in \N^*\)) :
\(\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \cos(kx) \dx\)
\(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(kx) \dx\)
\(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(kx) \dx\) (utile pour \(b_k\))
Que valent ces intégrales si \(n \neq k\) ? Et si \(n=k\) ?
Le coefficient \(a_k\) (\(k \ge 1\)) : En utilisant les résultats de la Q2, comment exprimer \(a_k\) à l’aide d’une intégrale ? Multipliez la série de Fourier par \(\cos(kx)\) et intégrez de \(-\pi\) à \(\pi\).
Le coefficient \(b_k\) (\(k \ge 1\)) : Sur le même principe, comment exprimer \(b_k\) à l’aide d’une intégrale ?
Partie 2 : Vers les coefficients complexes
La formule d’Euler \(\mathrm{e}^{\im \theta} = \cos(\theta) + \im \sin(\theta)\) est un outil puissant. Elle permet d’exprimer \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\) : \[\cos(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{\im \theta} + \mathrm{e}^{-\im \theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(\theta) = \frac{\mathrm{e}^{\im \theta} - \mathrm{e}^{-\im \theta}}{2\im}\]
Réécriture de la série de Fourier : Remplacez \(\cos(nx)\) et \(\sin(nx)\) dans la série de Fourier réelle (de la Partie 1) par leurs expressions en exponentielles complexes. \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \frac{\mathrm{e}^{\im nx} + \mathrm{e}^{-\im nx}}{2} + b_n \frac{\mathrm{e}^{\im nx} - \mathrm{e}^{-\im nx}}{2\im} \right)\] Regroupez les termes en \(\mathrm{e}^{\im nx}\) et \(\mathrm{e}^{-\im nx}\).
Définition des coefficients complexes \(c_k\) : On souhaite écrire la série sous la forme compacte : \[f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \mathrm{e}^{\im kx}\] En comparant avec l’expression de la Q5, identifiez \(c_n\) pour \(n > 0\), \(c_k\) pour \(k < 0\) (en posant \(k = -n\) avec \(n>0\)), et \(c_0\).
Formule intégrale directe pour \(c_k\) : De la même manière que pour \(a_n, b_n\), on peut trouver \(c_k\) en multipliant \(f(x)\) par \(\mathrm{e}^{-\im kx}\) et en intégrant sur \([-\pi, \pi]\). On a besoin de l’orthogonalité des exponentielles complexes : \[\int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{\im nx} \mathrm{e}^{-\im kx} \dx = \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{\im (n-k)x} \dx = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq k \\ 2\pi & \text{si } n = k \end{cases}\] Utilisez cela pour trouver la formule de \(c_k\) (pour \(k \in \Z\)).
Vérification du lien : Vérifions que cette formule intégrale pour \(c_k\) est cohérente avec les expressions de \(c_n, c_{-n}, c_0\) trouvées en Q6 en fonction de \(a_n, b_n, a_0\). Par exemple, pour \(n>0\), calculez \(c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\im nx} \dx\) en utilisant \(\mathrm{e}^{-\im nx} = \cos(nx) - \im \sin(nx)\) et les formules intégrales de \(a_n, b_n\) de la Partie 1.
Relation entre \(c_n\) et \(c_{-n}\) : Si \(f(x)\) est une fonction à valeurs réelles, quelle relation existe-t-il entre \(a_n\) et \(b_n\) (qui sont réels par définition si \(f\) est réelle) et les coefficients \(c_n\) et \(c_{-n}\) ? En particulier, que pouvez-vous dire de \(c_{-n}\) par rapport à \(c_n^*\) (le conjugué complexe de \(c_n\)) ?