À la découverte des Coefficients de Fourier

Intégrer $f(x)$ entre $-\pi$ et $\pi$ et en déduire une formule pour calculer terme constant $\frac{a_0}{2}$.

Orthogonalité des fonctions trigonométriques : Pour isoler $a_k$ (où $k \ge 1$ est un entier fixé), l’idée est de multiplier $f(x)$ par $\cos(kx)$ puis d’intégrer. Pour que cela fonctionne, nous avons besoin de connaître les valeurs des intégrales suivantes (où $n, k \in \N^*$) :

• (a) $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \cos(kx) \dx$

• (b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(kx) \dx$

• (c) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(kx) \dx$ (utile pour $b_k$)

Que valent ces intégrales si $n \neq k$ ? Et si $n=k$ ?

Le coefficient $a_k$ ($k \ge 1$) : En utilisant les résultats de la Q2, comment exprimer $a_k$ à l’aide d’une intégrale ? Multipliez la série de Fourier par $\cos(kx)$ et intégrez de $-\pi$ à $\pi$.

Le coefficient $b_k$ ($k \ge 1$) : Sur le même principe, comment exprimer $b_k$ à l’aide d’une intégrale ?

Réécriture de la série de Fourier : Remplacez $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ dans la série de Fourier réelle (de la Partie 1) par leurs expressions en exponentielles complexes. $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \frac{\mathrm{e}^{\im nx} + \mathrm{e}^{-\im nx}}{2} + b_n \frac{\mathrm{e}^{\im nx} - \mathrm{e}^{-\im nx}}{2\im} \right)$$ Regroupez les termes en $\mathrm{e}^{\im nx}$ et $\mathrm{e}^{-\im nx}$.

Définition des coefficients complexes $c_k$ : On souhaite écrire la série sous la forme compacte : $$f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \mathrm{e}^{\im kx}$$ En comparant avec l’expression de la Q5, identifiez $c_n$ pour $n > 0$, $c_k$ pour $k < 0$ (en posant $k = -n$ avec $n>0$), et $c_0$.

Formule intégrale directe pour $c_k$ : De la même manière que pour $a_n, b_n$, on peut trouver $c_k$ en multipliant $f(x)$ par $\mathrm{e}^{-\im kx}$ et en intégrant sur $[-\pi, \pi]$. On a besoin de l’orthogonalité des exponentielles complexes : $$\int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{\im nx} \mathrm{e}^{-\im kx} \dx = \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm{e}^{\im (n-k)x} \dx = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq k \\ 2\pi & \text{si } n = k \end{cases}$$ Utilisez cela pour trouver la formule de $c_k$ (pour $k \in \Z$).

Vérification du lien : Vérifions que cette formule intégrale pour $c_k$ est cohérente avec les expressions de $c_n, c_{-n}, c_0$ trouvées en Q6 en fonction de $a_n, b_n, a_0$. Par exemple, pour $n>0$, calculez $c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\im nx} \dx$ en utilisant $\mathrm{e}^{-\im nx} = \cos(nx) - \im \sin(nx)$ et les formules intégrales de $a_n, b_n$ de la Partie 1.

Relation entre $c_n$ et $c_{-n}$ : Si $f(x)$ est une fonction à valeurs réelles, quelle relation existe-t-il entre $a_n$ et $b_n$ (qui sont réels par définition si $f$ est réelle) et les coefficients $c_n$ et $c_{-n}$ ? En particulier, que pouvez-vous dire de $c_{-n}$ par rapport à $c_n^*$ (le conjugué complexe de $c_n$) ?