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Développer en série de Fourier les fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées :

1) (**) $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique paire telle que $\forall x\in[0,\pi]$, $f(x)=1-\frac{2x}{\pi}$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}$, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$.

2) (**) $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique impaire telle que $\forall x\in[0,\pi]$, $f(x)=x(\pi-x)$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^6}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^6}$.

3) (**) $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique telle que $\forall x\in]-\pi,\pi]$, $f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{16n^2+16n+3}$.

4) (***) $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique telle que $\forall x\in[-\pi,\pi]$, $f(x)=\ch(\lambda x)$ ($\lambda$ réel strictement positif donné). En déduire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\lambda^2+n^2}$, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\lambda^2+n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(\lambda^2+n^2)^2}$.

5) (**) $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ telle que $\forall x\in\Rr$, $f(x)=\text{sup}(0,\sin x)$. En déduire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4p^2-1}$.