Développer en série de Fourier les fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées :
1) (**) \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) \(2\pi\)-périodique paire telle que \(\forall x\in[0,\pi]\), \(f(x)=1-\frac{2x}{\pi}\). En déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\).
2) (**) \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) \(2\pi\)-périodique impaire telle que \(\forall x\in[0,\pi]\), \(f(x)=x(\pi-x)\). En déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}\), \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^6}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^6}\).
3) (**) \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) \(2\pi\)-périodique telle que \(\forall x\in]-\pi,\pi]\), \(f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)\). En déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{16n^2+16n+3}\).
4) (***) \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) \(2\pi\)-périodique telle que \(\forall x\in[-\pi,\pi]\), \(f(x)=\ch(\lambda x)\) (\(\lambda\) réel strictement positif donné). En déduire \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\lambda^2+n^2}\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\lambda^2+n^2}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(\lambda^2+n^2)^2}\).
5) (**) \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) telle que \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\text{sup}(0,\sin x)\). En déduire \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4p^2-1}\).