L2 Analyse Série de Fourier 5 questions

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Soit EE l’ensemble des fonctions de R\R dans C\C de la forme : f(x)=∑n=−∞+∞cne2iπnxf(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{2i\pi nx} où ∑∣cn∣\sum |c_n| converge. On pose pour f∈Ef\in E : ∥f∥=∑n=−∞+∞∣cn∣\|f\| = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|.

1

Justifier la définition de ∥f∥\|f\| et montrer que EE est un espace vectoriel normé complet.

2

Montrer que EE est une C\C-algèbre et que ∥fg∥≤∥f∥ ∥g∥\|fg\| \le \|f\|\,\|g\|.

3

Soit φ:E→C\varphi : E \to \C un morphisme d’algèbres.

4

On suppose φ\varphi continu, montrer qu’il existe z0∈Uz_0\in\mathbb{U} tel que ∀ f∈E, φ(f)=∑n=−∞+∞cnz0n\forall\ f\in E,\ \varphi(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz_0^n.

5

Vérifier que la formule précédente définit effectivement un morphisme continu de EE dans C\C.

Exercice ZEaC

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