Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans \(\C\) de la forme : \(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{2i\pi nx}\) où \(\sum |c_n|\) converge. On pose pour \(f\in E\) : \(\|f\| = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|\).
1
Justifier la définition de \(\|f\|\) et montrer que \(E\) est un espace vectoriel normé complet.
2
Montrer que \(E\) est une \(\C\)-algèbre et que \(\|fg\| \le \|f\|\,\|g\|\).
3
Soit \(\varphi : E \to \C\) un morphisme d’algèbres.
4
On suppose \(\varphi\) continu, montrer qu’il existe \(z_0\in\mathbb{U}\) tel que \(\forall\ f\in E,\ \varphi(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz_0^n\).
5
Vérifier que la formule précédente définit effectivement un morphisme continu de \(E\) dans \(\C\).