On considère la fonction \(2 \pi\)-périodique sur \(\R\) définie par \(f(x) = x \sin {\frac x 2}\quad \text{ si } 0 \le x < 2\pi\).
1
Calculer les coefficients de Fourier de \(f\).
2
Quelle est la nature de la série de Fourier \(S_f\) de \(f\) ?
3
En déduire la somme de la série \(\sum^\infty_{n=1}\, \frac{(-1)^{n-1}}{4 n^2 - 1}\).