L2 Analyse Série de Fourier 3 questions

exo7 1953

Soit f:R→Rf : \Rr \rightarrow \Rr une fonction 2π2\pi-périodique, C2C^2 et telle que ∫02πf(t)dt=0\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0} et, ∀t∈[0,2π],∣f(t)∣≥∣f′′(t)∣.\forall t\in [0,2\pi ], \vert f(t)\vert \geq \vert f''(t)\vert .On note respectivement (cn)n∈Z(c_n)_{n\in \Zz} et (cn′′)n∈Z(c''_n)_{n\in \Zz} les coefficients de Fourier (complexes) de ff et f′′f''.

1

Calculer c0c_0 puis calculer cn′′c''_n en fonction de cnc_n.

2

A l’aide du théorème de Parseval, en déduire que cn=0c_n=0 pour ∣n∣≥2.\vert n\vert \geq 2.

3

Montrer qu’il existe φ∈[0,2π]\varphi \in [0,2\pi ] et ρ∈R+\rho \in \Rr _+ tels que f(t)=ρcos⁡(t+φ)f(t)=\rho \cos (t+\varphi ) pour tout t∈[0,2π].t\in [0,2\pi ].

Exercice D4yI

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