Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) une fonction \(2\pi\)-périodique, \(C^2\) et telle que \(\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0}\) et, \(\forall t\in [0,2\pi ], \vert f(t)\vert \geq \vert f''(t)\vert .\)On note respectivement \((c_n)_{n\in \Zz}\) et \((c''_n)_{n\in \Zz}\) les coefficients de Fourier (complexes) de \(f\) et \(f''\).
1
Calculer \(c_0\) puis calculer \(c''_n\) en fonction de \(c_n\).
2
A l’aide du théorème de Parseval, en déduire que \(c_n=0\) pour \(\vert n\vert \geq 2.\)
3
Montrer qu’il existe \(\varphi \in [0,2\pi ]\) et \(\rho \in \Rr _+\) tels que \(f(t)=\rho \cos (t+\varphi )\) pour tout \(t\in [0,2\pi ].\)