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Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx\) converge uniformément sur \(\R\) si et seulement si \(na_n \to 0\) lorsque \(n\to\infty\).
Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy et l’inégalité : \(\sin x \ge \frac{2x}\pi\) sur \([0,\pi/2]\).