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Soit $(a_n)$ une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx$ converge uniformément sur $\R$ si et seulement si $na_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$.

Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy et l’inégalité : $\sin x \ge \frac{2x}\pi$ sur $[0,\pi/2]$.