Soit la fonction \(g(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\), \(2\pi\)-périodique, telle que pour \(x \in [-\pi, \pi]\) : \[g(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [-\pi/2, \pi/2] \\ 0 & \text{si } x \in ]-\pi, -\pi/2[ \cup ]\pi/2, \pi[ \end{cases}\] L’objectif de cet exercice est de calculer les coefficients de Fourier pour cette fonction paire simple et d’interpréter le coefficient \(a_0\).
Tracer le graphe de \(g(x)\) sur l’intervalle \([-2\pi, 2\pi]\).
La fonction \(g(x)\) est-elle paire ? Impaire ? Ni l’une ni l’autre ? Justifier.
Quelle conséquence la parité de \(g(x)\) a-t-elle sur ses coefficients de Fourier \(b_n\) ?
Calculer le coefficient \(a_0\). Quelle est son interprétation graphique ? On rappelle que \(a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx\).
Calculer les coefficients \(a_n\) pour \(n \ge 1\). On rappelle que \(a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx) \, dx\). Discuter la valeur de \(a_n\) selon la parité de \(n\) (si \(n\) est pair ou impair, en distinguant le cas \(n=0\) déjà traité).
Écrire les premiers termes non nuls de la série de Fourier de \(g(x)\).