Une fonction "créneau" simple et sa parité

Tracer le graphe de $g(x)$ sur l’intervalle $[-2\pi, 2\pi]$.

La fonction $g(x)$ est-elle paire ? Impaire ? Ni l’une ni l’autre ? Justifier.

Quelle conséquence la parité de $g(x)$ a-t-elle sur ses coefficients de Fourier $b_n$ ?

Calculer le coefficient $a_0$. Quelle est son interprétation graphique ? On rappelle que $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \, dx$.

Calculer les coefficients $a_n$ pour $n \ge 1$. On rappelle que $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx) \, dx$. Discuter la valeur de $a_n$ selon la parité de $n$ (si $n$ est pair ou impair, en distinguant le cas $n=0$ déjà traité).

Écrire les premiers termes non nuls de la série de Fourier de $g(x)$.