Soit \(f:\R\rightarrow \R\), impaire, \(2\pi\)-périodique, définie par \(f(x)=1\) pour tout \(x\in]0,\pi[\).
1
Dessiner le graphe de \(f\). Quelle est la régularité de \(f\) ?
2
Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de \(f\).
3
Calculer les sommes : \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{2n+1 } \qquad \text{ et } \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1 }{(2n+1)^2 }.\]
4
En déduire la valeur exacte de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 }{n^2 }\).