L2 Analyse Série de Fourier 4 questions

Egalité à une série de Fourier

Soit f:R→Rf:\R\rightarrow \R, impaire, 2π2\pi-périodique, définie par f(x)=1f(x)=1 pour tout x∈]0,π[x\in]0,\pi[.

1

Dessiner le graphe de ff. Quelle est la régularité de ff ?

2

Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de ff.

3

Calculer les sommes : ∑n=0+∞(−1)n2n+1 et ∑n=0+∞1(2n+1)2.\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{2n+1 } \qquad \text{ et } \qquad \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1 }{(2n+1)^2 }.

4

En déduire la valeur exacte de ∑n=1+∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 }{n^2 }.

Exercice Kush

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