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Donner les structures de cycles possibles dans \(\mathcal{S}_4\), le nombre d’éléments de \(\mathcal{S}_4\) ayant cette structure, et leur signature. Déterminer les sous-groupes distingués de \(\mathcal{S}_4\) (utiliser l’exercice sur les classes de conjugaison). En déduire que \(A_4\) n’est pas un groupe simple, i.e. qu’il possède des sous-groupes distingués autres que \(\lbrace e\rbrace\) et \(A_4\).
Déterminer les sous-groupes de Sylow de \(\mathcal{S}_4\).