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Donner les structures de cycles possibles dans $\mathcal{S}_4$, le nombre d’éléments de $\mathcal{S}_4$ ayant cette structure, et leur signature. Déterminer les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_4$ (utiliser l’exercice sur les classes de conjugaison). En déduire que $A_4$ n’est pas un groupe simple, i.e. qu’il possède des sous-groupes distingués autres que $\lbrace e\rbrace$ et $A_4$.

Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\mathcal{S}_4$.