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Soit $G$ le sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ engendré par $\alpha=(2,4,6)(5,7,1)$ et $\beta=(3,4)(5,6)$. On se propose de déterminer l’ordre de $G$. On considère pour cela les ensembles suivants : $$G_1=\lbrace \varphi\in G \mid \varphi(1)=1\rbrace \quad \quad G_2=\lbrace \varphi\in G_1 \mid \varphi(2)=2\rbrace \quad \quad G_3=\lbrace \varphi\in G_2 \mid \varphi(3)=3\rbrace$$ $$X_1=\lbrace \varphi(1) \mid \varphi\in G\rbrace \quad \quad X_2=\lbrace \varphi(2) \mid \varphi\in G_1\rbrace \quad \quad X_3=\lbrace \varphi(3) \mid \varphi\in G_2\rbrace.$$ Étant donné un ensemble $Y$, on note $|Y|$ le cardinal de $Y$.