Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par \(\alpha=(2,4,6)(5,7,1)\) et \(\beta=(3,4)(5,6)\). On se propose de déterminer l’ordre de \(G\). On considère pour cela les ensembles suivants : \[G_1=\lbrace \varphi\in G \mid \varphi(1)=1\rbrace \quad \quad G_2=\lbrace \varphi\in G_1 \mid \varphi(2)=2\rbrace \quad \quad G_3=\lbrace \varphi\in G_2 \mid \varphi(3)=3\rbrace\] \[X_1=\lbrace \varphi(1) \mid \varphi\in G\rbrace \quad \quad X_2=\lbrace \varphi(2) \mid \varphi\in G_1\rbrace \quad \quad X_3=\lbrace \varphi(3) \mid \varphi\in G_2\rbrace.\] Étant donné un ensemble \(Y\), on note \(|Y|\) le cardinal de \(Y\).
Montrer que 6 divise \(\mid G\mid\).
Quelle relation existe-t-il entre \(|G|\) et \(|X_1| \ |X_2| \ |X_3| \ |G_3|\) ?
Expliciter \(X_1\).
Expliciter \(\gamma=\alpha \beta \alpha^{-1}\) et \(\delta=\gamma \beta \gamma^{-1}\). En déduire \(X_3=\{3,4,5,6\}\) ou \(X_3=\{3,4,5,6,7\}\) et \(X_2=\{2,7\}\) ou \(X_2=\{2,3, 4, 5,6,7\}\).
On fait agir \(G\) sur l’ensemble des parties de \(\lbrace 1,2,3,4,5,6,7\rbrace\). Déterminer l’orbite de la partie \(\lbrace 1,2,7\rbrace\). En déduire que 7 est fixé par les éléments de \(G_2\) et que \(G_3\) est réduit à l’identité.
En déduire \(|G|\).