Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I\).
1
Soit \(a\in I\). Donner une raison pour laquelle : \[\left( \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \right) \Rightarrow \left( \lim_{x\rightarrow a} |f(x)|=|f(a)| \right).\]
2
On suppose que \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\). En utilisant l’implication démontrée ci-dessus, la relation \(\sup(f,g)=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|)\), et les propriétés des fonctions continues, montrer que la fonction \(\sup(f,g)\) est continue sur \(I\).