exo7 6240

Vérifier que $F$ est bien continue et que $T$ est $3/4$-contractante.

On note $h$ le point fixe de $T$. Montrer par récurrence $\vert h({{k-1}\over3^n})-h({k\over3^n})\vert\geq 2^{-n}$.

Soit $a\in[0,1]$; montrer qu’il existe une suite $(t_n)$ telle que $\lim t_n =a$ et $\lim \vert {{h(t_n)-h(a)}\over{t_n-a}}\vert = +\infty$.

En déduire l’existence d’une fonction continue nulle part dérivable.