On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe \(F\) définie par
\[F(t)= \left \{\begin{array}{ccc} & 3/4\ f(3t) & {\rm si}\ \ 0\leq t\leq 1/3\\ & 1/4 + 1/2\ f(2-3t) &{\rm si}\ \ 1/3\leq t\leq 2/3\\ &1/4 +3/4\ f(3t-2)&{\rm si}\ \ 2/3\leq t\leq 1 \end{array}\right.\]
1
Vérifier que \(F\) est bien continue et que \(T\) est \(3/4\)-contractante.
2
On note \(h\) le point fixe de \(T\). Montrer par récurrence \(\vert h({{k-1}\over3^n})-h({k\over3^n})\vert\geq 2^{-n}\).
Soit \(a\in[0,1]\); montrer qu’il existe une suite \((t_n)\) telle que \(\lim t_n =a\) et \(\lim \vert {{h(t_n)-h(a)}\over{t_n-a}}\vert = +\infty\).
3
En déduire l’existence d’une fonction continue nulle part dérivable.