Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une application dérivable verifiant \(\forall x\in I\ :\ |f'(x)| < 1\). Pour un \(x_0 \in I\) on définit la suite récurrente \(a : \Nn \to I\) par \(a_0 = x_0\), \(a_{n+1} = f(a_n)\). On vous demande de montrer qu’il existe un unique \(\ell \in I\), indépendant de \(x_0\), tel que \(\lim_{n\to \infty} a_n = \ell\). Les questions suivantes peuvent vous guider dans la démonstration.
1
Montrer que \(f\) admet un point fixe unique \(\ell\).
2
Montrer que \(d(a_n,\ell)\) converge.
3
Montrer que la suite \(a\) admet une sous-suite convergente \(b\).
4
Notons \(\lim_{k\to \infty} b_k = \beta\) et \(\lim_{n\to \infty} d(a_n,\ell) = r\). Montrer : \(d(\beta,\ell) = r = d(f(\beta),\ell)\).