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Soit $I\subset \Rr$ un intervalle fermé borné et soit $f: I \to I$ une application dérivable verifiant $\forall x\in I\ :\ |f'(x)| < 1$. Pour un $x_0 \in I$ on définit la suite récurrente $a : \Nn \to I$ par $a_0 = x_0$, $a_{n+1} = f(a_n)$. On vous demande de montrer qu’il existe un unique $\ell \in I$, indépendant de $x_0$, tel que $\lim_{n\to \infty} a_n = \ell$. Les questions suivantes peuvent vous guider dans la démonstration.