L3 Topologie Théorème du point fixe Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

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Soit a,b∈Ea,b\in E evn, B1={x∈E/∥x−a∥=∥x−b∥=12∥a−b∥}B_1=\{x\in E/ \Vert x-a\Vert=\Vert x-b\Vert={1\over2}\Vert a-b\Vert\}, et pour n>1n>1, Bn={x∈Bn−1/∥x−y∥≤12δ(Bn−1), ∀y∈Bn−1}B_n=\{x\in B_{n-1}/ \Vert x-y\Vert\leq {1\over2}\delta(B_{n-1}),\ \forall y\in B_{n-1}\}, où δ(B)\delta(B) désigne le diamètre de l’ensemble BB.

1

Montrer que δ(Bn)≤12δ(Bn−1)\delta(B_{n})\leq {1\over2}\delta(B_{n-1}), et que ⋂nBn={a+b2}\bigcap_n B_n=\{{{a+b}\over2}\}.

2

Soit ff une isométrie de EE sur FF evn, telle que f(0)=0f(0)=0. Montrer en considérant la suite (f(Bn))(f(B_n)) que pour tous a,b∈Ea,b\in E, f(a+b2)=f(a)+f(b)2.f\Big({{a+b}\over2}\Big)={{f(a)+f(b)}\over2}. En déduire que ff est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d’une isométrie ff de EE sur FF ?

Exercice 5UHv

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