Soit \(a,b\in E\) evn, \(B_1=\{x\in E/ \Vert x-a\Vert=\Vert x-b\Vert={1\over2}\Vert a-b\Vert\}\), et pour \(n>1\), \(B_n=\{x\in B_{n-1}/ \Vert x-y\Vert\leq {1\over2}\delta(B_{n-1}),\ \forall y\in B_{n-1}\}\), où \(\delta(B)\) désigne le diamètre de l’ensemble \(B\).
1
Montrer que \(\delta(B_{n})\leq {1\over2}\delta(B_{n-1})\), et que \(\bigcap_n B_n=\{{{a+b}\over2}\}\).
2
Soit \(f\) une isométrie de \(E\) sur \(F\) evn, telle que \(f(0)=0\). Montrer en considérant la suite \((f(B_n))\) que pour tous \(a,b\in E\), \[f\Big({{a+b}\over2}\Big)={{f(a)+f(b)}\over2}.\] En déduire que \(f\) est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d’une isométrie \(f\) de \(E\) sur \(F\) ?