exo7 2405

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet et soit $f: X\to X$ une application telle que l’une de ces itérées $f^n$ est strictement contractante, i.e. il existe $\rho <1$ tel que $$d(f^n(x),f^n(y)) \leq \rho d(x,y) \quad \mbox{pour tout} \quad x,y\in X \; .$$ Montrer que $f$ possède un unique point fixe. Faire le rapprochement avec l’exercice [exn13].