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Soit $X = ({\cal C}^1([0,1]),N)$ avec $N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$. Montrer qu’il existe une fonction $f\in X$ qui est point fixe de l’opérateur $T$ donné par $$Tf(x)= 1 + \int _0^x f(t-t^2)\, dt \; .$$ On pourra commencer par établir que $T\circ T$ est une contraction. Utiliser ceci pour établir l’existence d’une fonction unique $f\in X$ qui vérifie $f(0)=1$ et $f'(x) = f(x-x^2)$.