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Soit \(X = ({\cal C}^1([0,1]),N)\) avec \(N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\). Montrer qu’il existe une fonction \(f\in X\) qui est point fixe de l’opérateur \(T\) donné par \[Tf(x)= 1 + \int _0^x f(t-t^2)\, dt \; .\] On pourra commencer par établir que \(T\circ T\) est une contraction. Utiliser ceci pour établir l’existence d’une fonction unique \(f\in X\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(x) = f(x-x^2)\).