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On considère une matrice $A=(a_{ij})$ à coefficients réels telle que $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2 <1$. En utilisant le théorème du point fixe, montrer que quels que soient les réels $b_1,b_2,\cdots b_n$, le système d’équations linéaires $$x_i-\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i,\ \ \ 1\leq i\leq n$$ admet toujours une solution unique. En déduire $\det (I-A)\neq 0$.

Montrer sous les mêmes hypothèses que le système non linéaire $$x_i-\sum_{j=1}^n \sin(a_{ij} x_j) = b_i,\ \ \ 1\leq i\leq n$$ admet une unique solution.