1
On considère une matrice \(A=(a_{ij})\) à coefficients réels telle que \(\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2 <1\). En utilisant le théorème du point fixe, montrer que quels que soient les réels \(b_1,b_2,\cdots b_n\), le système d’équations linéaires \[x_i-\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i,\ \ \ 1\leq i\leq n\] admet toujours une solution unique. En déduire \(\det (I-A)\neq 0\).
2
Montrer sous les mêmes hypothèses que le système non linéaire \[x_i-\sum_{j=1}^n \sin(a_{ij} x_j) = b_i,\ \ \ 1\leq i\leq n\] admet une unique solution.