exo7 2407

Rappeler que $({\cal C}([a,b]),\| .\| _\infty)$ est un espace complet.

Soit $x\in {\cal C}([a,b]) \mapsto Ax \in {\cal C}([a,b])$ l’application donnée par $$(Ax)(s) :=\int _a^b k(s,t) x(t) \, dt +y(s) \; .$$ Noter que ([eq 11]) équivaut à $Ax=x$ et qu’on cherche donc un point fixe de $x \mapsto Ax$. Déduire des hypothèses faites sur $k$ qu’un tel point fixe $x\in {\cal C}([a,b])$ existe et que toute suite $A^n x_0$, $x_0\in{\cal C}([a,b])$, converge uniformément vers ce point fixe $x$.

Dépendance continue de la solution $x = x(y)$.

Soient $y_1,y_2\in{\cal C}([a,b])$ deux fonctions et $x_1, x_2\in{\cal C}([a,b])$ les deux solutions associées de ([eq 11]) ou, de façon équivalente, les points fixes des applications associées $x\mapsto A_i x$. Montrer que $$\| x_1 - x_2\|_\infty = \| A_1 x_1 -A_2 x_2\|_\infty\leq \|y_1 -y_2\|_\infty+ \lambda \|x_1 -x_2 \|_\infty \; .$$ En déduire que $$\|x_1 -x_2\|_\infty \leq \frac{1}{1-\lambda}\| y_1 -y_2\|_\infty$$ et donc que la solution $x$ de ([eq 11]) dépend continuement de la fonction $y$.