Soient \(y\in {\cal C}([a,b])\) et \(k\in {\cal C}([a,b]\times [a,b])\) des fonctions continues. On se propose de résoudre l’équation (intégrale de Fredholm) suivante: \[\begin{equation}\label{eq 11} x(s) -\int _a^b k(s,t) x(t) \, dt =y(s) \quad \text{pour} \; s\in [a,b] \; \end{equation}\] d’inconnue \(x\in{\cal C}([a,b])\). Pour ce faire on suppose que le "noyau" \(k\) satisfait l’hypothèse suivante: \[\lambda := \max _{a\leq s\leq b} \int _a^b |k(s,t)|\, dt <1 \quad \left( \mbox{ou même} \quad \max_{a\leq s,t\leq b} |k(s,t)| <\frac{1}{b-a} \;\right) .\]
Rappeler que \(({\cal C}([a,b]),\| .\| _\infty)\) est un espace complet.
Soit \(x\in {\cal C}([a,b]) \mapsto Ax \in {\cal C}([a,b])\) l’application donnée par \[(Ax)(s) :=\int _a^b k(s,t) x(t) \, dt +y(s) \; .\] Noter que ([eq 11]) équivaut à \(Ax=x\) et qu’on cherche donc un point fixe de \(x \mapsto Ax\). Déduire des hypothèses faites sur \(k\) qu’un tel point fixe \(x\in {\cal C}([a,b])\) existe et que toute suite \(A^n x_0\), \(x_0\in{\cal C}([a,b])\), converge uniformément vers ce point fixe \(x\).
Dépendance continue de la solution \(x = x(y)\).
Soient \(y_1,y_2\in{\cal C}([a,b])\) deux fonctions et \(x_1, x_2\in{\cal C}([a,b])\) les deux solutions associées de ([eq 11]) ou, de façon équivalente, les points fixes des applications associées \(x\mapsto A_i x\). Montrer que \[\| x_1 - x_2\|_\infty = \| A_1 x_1 -A_2 x_2\|_\infty\leq \|y_1 -y_2\|_\infty+ \lambda \|x_1 -x_2 \|_\infty \; .\] En déduire que \[\|x_1 -x_2\|_\infty \leq \frac{1}{1-\lambda}\| y_1 -y_2\|_\infty\] et donc que la solution \(x\) de ([eq 11]) dépend continuement de la fonction \(y\).