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Soit $X$ un espace métrique et $(f_n)$ une suite d’applications continues à valeurs dans un espace métrique $Y$, convergeant vers $f$ uniformément sur $X$. Montrer que si $(x_n)$ est une suite de points de $X$ convergeant vers $x\in X$, alors $f_n(x_n)$ tend vers $f(x)$.

Application : Soit $X$ un espace métrique compact, et soit $(f_n)$ une suite d’applications continues de $X$ dans $X$, ayant chacune un point fixe; on suppose que la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ uniformément sur $X$. Montrer que $f$ a aussi un point fixe.

Soit $K$ un convexe compact de $\Rr^n$ et $f$ une application continue de $K$ dans $K$ vérifiant $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \leq \Vert x-y\Vert;$$ En considérant les fonctions $f_n$ définies sur $K$ par $f_n(x)={1\over n}f(x_0)+(1-{1\over n})f(x)$, où $x_0\in K$, montrer que $f$ a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si $K$ n’est plus convexe ?