On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérateur \(A\) défini par \[Af(x)=\int_0^x tf(t)\ dt + x\int_x^1 f(t)\ dt\] pour \(f\in E\) et \(x\in [0,1]\).
1
Vérifier que \(A\) est continu et calculer sa norme opérateur.
2
L’équation \(Af=f\) a-t-elle dans \(E\) des solutions \(f\) non nulles ?