L3 Topologie Théorème du point fixe Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 6239

On désigne par EE l’espace C([0,1])C([0,1]) muni de la norme uniforme et l’opérateur AA défini par Af(x)=∫0xtf(t) dt+x∫x1f(t) dtAf(x)=\int_0^x tf(t)\ dt + x\int_x^1 f(t)\ dt pour f∈Ef\in E et x∈[0,1]x\in [0,1].

1

Vérifier que AA est continu et calculer sa norme opérateur.

2

L’équation Af=fAf=f a-t-elle dans EE des solutions ff non nulles ?

Exercice SIeB

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