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Soit $\alpha _n >0$ tel que la série $\sum_{n=1}^\infty \alpha _n$ converge. Soit $(X,d)$ un espace métrique complet et $f:X\to X$ une application pour laquelle $$d(f^n(x),f^n(y))\leq \alpha_n d(x,y) \quad \text{pour tout } x,y\in X \; \text {et }\; n\in \Nn\; .$$ Montrer que, sous ces conditions, $f$ possède un unique point fixe $p\in X$, que pour tout point initial $x_0 \in X$, la suite des itérées $(x_n=f^n (x_0))_{n\geq 0}$ converge vers $p$ et que la vitesse de convergence d’une telle suite est contrôlée par $$d(p,x_n) \leq \left ( \sum_{\nu =n}^\infty \alpha _\nu \right ) d(x_1,x_0) \; .$$