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[exn13] Soit \(\alpha _n >0\) tel que la série \(\sum_{n=1}^\infty \alpha _n\) converge. Soit \((X,d)\) un espace métrique complet et \(f:X\to X\) une application pour laquelle \[d(f^n(x),f^n(y))\leq \alpha_n d(x,y) \quad \text{pour tout } x,y\in X \; \text {et }\; n\in \Nn\; .\] Montrer que, sous ces conditions, \(f\) possède un unique point fixe \(p\in X\), que pour tout point initial \(x_0 \in X\), la suite des itérées \((x_n=f^n (x_0))_{n\geq 0}\) converge vers \(p\) et que la vitesse de convergence d’une telle suite est contrôlée par \[d(p,x_n) \leq \left ( \sum_{\nu =n}^\infty \alpha _\nu \right ) d(x_1,x_0) \; .\]