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Pour $x,y\in X=]0,+\infty[$ on pose $\delta(x,y)=\vert \log x-\log y\vert$

Montrer que $X$ muni de $\delta$ est complet alors qu’il ne l’est pas pour la métrique usuelle de $\Rr$ .

Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $X$ dans $X$ vérifiant pour tout $x\in X$ $x\vert f'(x)\vert\leq k f(x)$ où $k$ est un réel de $]0,1[$ fixé. Montrer que $f$ a un seul point fixe dans $X$ .