Pour \(x,y\in X=]0,+\infty[\) on pose \(\delta(x,y)=\vert \log x-\log y\vert\)
1
Montrer que \(X\) muni de \(\delta\) est complet alors qu’il ne l’est pas pour la métrique usuelle de \(\Rr\).
2
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) de \(X\) dans \(X\) vérifiant pour tout \(x\in X\) \[x\vert f'(x)\vert\leq k f(x)\] où \(k\) est un réel de \(]0,1[\) fixé. Montrer que \(f\) a un seul point fixe dans \(X\).