Soit \(E\) un espace métrique compact, \(f\) une application continue de \(E\) dans \(E\) et on note \(\Omega\) l’ensemble de ses points fixes.
1
Montrer que \(\Omega\) est un compact, qui est non vide dans le cas où \(E=[a,b]\).
2
Si \(\Omega=\emptyset\), montrer qu’il existe \(r>0\) tel que \(d(x,f(x))\geq r\) pour tout \(x\in E\).
3
On suppose que \(d(f(x),f(y))<d(x,y)\) pour tous \(x\not=y\) de \(E\). Montrer que \(\Omega\) est réduit à un point \(a\) et que pour tout choix initial de \(x_0\in E\), la suite récurrente \(x_{n+1}=f(x_n)\) converge vers \(a\).