OpenYourMath

On va montrer qu’il existe une et une seule $h$ continue sur $[0,1]$ vérifiant $h(0)=0$ et $h'(t)=\cos (th(t))$ pour tout $t\in[0,1]$ . On note $E$ l’espace des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la métrique uniforme.

$h$ est solution si et seulement si $h$ est continue et $h(s)=\int_0^s \cos (th(t))\ dt$ .

L’opérateur $T:E\to E$ défini par $Tf(s)=\int_0^s \cos (tf(t))\ dt$ est $1/2$ -contractant. Conclure.