On va montrer qu’il existe une et une seule \(h\) continue sur \([0,1]\) vérifiant \(h(0)=0\) et \(h'(t)=\cos (th(t))\) pour tout \(t\in[0,1]\). On note \(E\) l’espace des fonctions continues sur \([0,1]\) muni de la métrique uniforme.
1
\(h\) est solution si et seulement si \(h\) est continue et \(h(s)=\int_0^s \cos (th(t))\ dt\).
2
L’opérateur \(T:E\to E\) défini par \(Tf(s)=\int_0^s \cos (tf(t))\ dt\) est \(1/2\)-contractant. Conclure.