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Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^1$.

Calculer pour tout $(x,y) \in \Rr^2$ la matrice Jacobienne de $f$ en $(x,y)$ notée $D_{(x,y)}f$; calculer la matrice Jacobienne de $g$ en $(0,0)$ notée $D_{(0,0)}g$.

Montrer qu’il existe $\rho>0$ tel que pour tout $(x,y) \in \overline{B_\rho((0,0))}$ (la boule fermée de centre $(0,0)$ et de rayon $\rho$) on a $\Vert D_{(x,y)}g \Vert \le \frac12$.

Montrer que la fonction $g$ admet un unique point fixe dans $\overline{B_\rho((0,0))}$ avec $\rho$ comme dans 3).