Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On définit la fonction \(g:\Rr^2 \to \Rr^2\) par \(g = f \circ f\).
1
Montrer que \(f\) et \(g\) sont de classe \(C^1\).
2
Calculer pour tout \((x,y) \in \Rr^2\) la matrice Jacobienne de \(f\) en \((x,y)\) notée \(D_{(x,y)}f\); calculer la matrice Jacobienne de \(g\) en \((0,0)\) notée \(D_{(0,0)}g\).
3
Montrer qu’il existe \(\rho>0\) tel que pour tout \((x,y) \in \overline{B_\rho((0,0))}\) (la boule fermée de centre \((0,0)\) et de rayon \(\rho\)) on a \(\Vert D_{(x,y)}g \Vert \le \frac12\).
4
Montrer que la fonction \(g\) admet un unique point fixe dans \(\overline{B_\rho((0,0))}\) avec \(\rho\) comme dans 3).