L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 3 questions

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Soit EE un Banach, AA,BB deux sous-espaces de EE tels que A∩B={0}A\cap B=\{0\}, AA étant fermé et BB de dimension finie.

1

Pour b∈Bb\in B, on définit [b]=d(b,A)=inf⁡a∈A∣∣a+b∣∣[b]=d(b,A)=\inf_{a\in A}||a+b||. Vérifier que [.][.] est une norme sur BB.

2

En déduire qu’il existe C>0C>0 telle que ∣∣a+b∣∣≥C∣∣b∣∣||a+b||\geq C||b|| pour tous a∈Aa\in A et b∈Bb\in B.

3

Montrer que A⊕BA\oplus B est encore un sous-espace fermé de EE.

Exercice 1p4e

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