Soit \(E\) un Banach, \(A\),\(B\) deux sous-espaces de \(E\) tels que \(A\cap B=\{0\}\), \(A\) étant fermé et \(B\) de dimension finie.
1
Pour \(b\in B\), on définit \([b]=d(b,A)=\inf_{a\in A}||a+b||\). Vérifier que \([.]\) est une norme sur \(B\).
2
En déduire qu’il existe \(C>0\) telle que \(||a+b||\geq C||b||\) pour tous \(a\in A\) et \(b\in B\).
3
Montrer que \(A\oplus B\) est encore un sous-espace fermé de \(E\).