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Soit $\omega \in X$ une fonction qui ne s’annule pas sur $[a,b]$. Posons $$d_\omega (f,g) = \sup_{t\in[a,b]} |\omega (t) (f(t)-g(t))| \; .$$ L’espace $(X,d_\omega)$ est-il complet?

Montrer que l’espace $(X, \|.\|_1)$ n’est pas complet (où $\|f\|_1 = \int _0^1 |f(t)| \, dt$).