[exocomp] On considère l’espace des fonctions continues \(X={\cal C}([a,b])\).
1
Soit \(\omega \in X\) une fonction qui ne s’annule pas sur \([a,b]\). Posons \[d_\omega (f,g) = \sup_{t\in[a,b]} |\omega (t) (f(t)-g(t))| \; .\] L’espace \((X,d_\omega)\) est-il complet?
2
Montrer que l’espace \((X, \|.\|_1)\) n’est pas complet (où \(\|f\|_1 = \int _0^1 |f(t)| \, dt\)).