Soit \(M\subset \Rr^n\) une sous-variété de dimension \(k\), et soit \(X\) un champ de vecteurs sur \(M\). On définit \(D = \{\,m\in M\mid X(m) \neq 0\,\}\) et \(S = \overline D = \text{ fermeture } D\). On vous demande de démontrer l’énoncé : “si \(S\) est compact, alors \(X\) est complet”. Les questions suivantes peuvent vous guider.
1
Pour \(x \notin S\) trouver la courbe intégrale maximale \(\gamma : J_x \to M\) passant par \(x\).
2
Montrer que si \(x\in S\), et si \(\gamma : J \to M\) est une courbe intégrale passant par \(x\), alors \(\forall\ t\in J\ :\ \gamma(t) \in S\).
3
En utilisant la compacité de \(S\), montrer que \(X\) est complet (sur \(M\) !).