L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 3 questions

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Soit M⊂RnM\subset \Rr^n une sous-variété de dimension kk, et soit XX un champ de vecteurs sur MM. On définit D={ m∈M∣X(m)≠0 }D = \{\,m\in M\mid X(m) \neq 0\,\} et S=D‾= fermeture DS = \overline D = \text{ fermeture } D. On vous demande de démontrer l’énoncé : “si SS est compact, alors XX est complet”. Les questions suivantes peuvent vous guider.

1

Pour x∉Sx \notin S trouver la courbe intégrale maximale γ:Jx→M\gamma : J_x \to M passant par xx.

2

Montrer que si x∈Sx\in S, et si γ:J→M\gamma : J \to M est une courbe intégrale passant par xx, alors ∀ t∈J : γ(t)∈S\forall\ t\in J\ :\ \gamma(t) \in S.

3

En utilisant la compacité de SS, montrer que XX est complet (sur MM !).

Exercice qmvG

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