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On considère pour $f$ et $g$ dans $E=C(\Rr,C)$, $$d(f,g)=\sum_n{1\over {2^n}}\min(1,\sup_{\vert x\vert\leq n}\vert f(x)-g(x)\vert).$$ Vérifier que $d$ est une métrique sur $E$ pour laquelle il est complet.

Montrer que la convergence pour $d$ n’est autre que la convergence uniforme sur tout compact de $\Rr$.